$\int_{0}^{1} 9x^8 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (જ્યાં $\alpha > 0$),તો $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx + \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ હોય, તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

જો $f(x)$ એ $f^{\prime}(x)=f(x)$ નું પાલન કરતું વિધેય હોય અને $f(0)=1$ હોય,તથા $g(x)$ એવું વિધેય હોય કે જે $f(x)+g(x)=x^2$ નું પાલન કરે છે,તો સંકલન $\int_0^1 f(x) g(x) d x$ ની કિંમત શોધો.

આપેલ છે કે દરેક $a \in (0,1)$ માટે,લક્ષ $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. વધુમાં,આપેલ છે કે વિધેય $g(a)$ એ $(0,1)$ પર વિકલનીય છે.
$1.$ $g\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત છે
$(A) \pi$ $(B) 2\pi$ $(C) \frac{\pi}{2}$ $(D) \frac{\pi}{4}$
$2.$ $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત છે
$(A) \frac{\pi}{2}$ $(B) \pi$ $(C) -\frac{\pi}{2}$ $(D) 0$
$1$ અને $2$ માટે સાચી જોડ પસંદ કરો.

ધારો કે $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો,સંકલન $\int\limits_{0}^{1}\left[-8 x^{2}+6 x-1\right] d x$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?